【確率統計】正規分布の基本性質について|テスト前必見！

今回は、正規分布の基本的な性質について解説します。確率統計を学ぶ上で重要な分布であるため、理解しておきましょう。

広義積分は理解している前提で説明しております。試験勉強に活用していただけると幸いです。

【定義】正規分布

確率変数Xの密度関数\(f_x\)が
\[\forall x\in \mathbb{R}, f_x(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-µ}{\sigma})^2} \]
で与えられる時、Xは平均µ、分散\(\sigma^2\)の正規分布に従うとよび、X~N(µ,\(\sigma^2\))と表す。

性質

正規分布には綺麗な性質があります。確率変数同士の和や線形変換をした際の分布の変化に注目しましょう。

\(確率変数X\sim N(µ,\sigma^2)と\forall a\neq0,b\in \mathbb{R}に対し、\)\[Z=aX+bとおくと
Z\sim N(aµ+b,a^2\sigma^2)\]
線形変換後の確率変数も正規分布に従うことがわかりました。ここで、\(Z=\frac{X-µ}{\sigma}\)という確率変数について考えます。
確率変数Xを\(\frac{1}{\sigma}倍し、\frac{µ}{\sigma}を引いているため\)
\[平均：　\frac{1}{\sigma}µ+(-\frac{µ}{\sigma}),分散：　(\frac{1}{\sigma})^2\sigma^2\]
であるから\(Z\sim N(0,1)\)であることがわかる。
この平均0,分散1の正規分布を標準正規分布と呼びました。

独立な確率変数\(X_1\sim N(µ_1, {\sigma_1}^2)とX_2\sim N(µ_2, {\sigma_2}^2)\)に対し、
\[X_1+X_2\sim N(µ_1+µ_2,{\sigma_1}^2+{\sigma_2}^2)\]
が成立する。
正規分布に従う確率変数を足し合わせても、正規分布になります。

なぜ、これが成り立つのか証明する際はモーメント母関数を利用するとよいです。

モーメント母関数

確率変数\(X\)のモーメント母関数\(M_x\)は
\[\forall t\in \mathbb{R}, M_X(t)=E[e^{tX}]\]

そして今回は確率変数が正規分布に従うため、

\(X\sim N(µ,\sigma^2),\forall t \in \mathbb{R}\)に対し
\[M_X(t)=e^{tµ+\frac{t^2\sigma^2}{2}}\]

そして、正規分布の再生性を証明する上で必要な、モーメント母関数に関する重要な定理があります。

確率変数X,Yがある\(\sigma>0と\forall |t|<\sigma\)に対し \[M_X(t)=M_Y(t)\] を満たすならば、XとYは同じ分布を持つ

ある確率変数Xとある確率変数Yがあり、それのモーメント母関数が一致するならば、従う分布も一致するという便利な定理です。

正規分布の再生性の証明方針は、確率変数XとYの和X+Yのモーメント母関数を求めたら、\(N(µ_1+µ_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)に従う確率変数のモーメント母関数と一致した！という感じです。

また、モーメント母関数と独立する確率変数の性質から明らかではありますが、
独立な確率変数X,Yに対し
\[M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)\]
が成り立ちます。

確率変数X,Yが独立であるならば、\(E[XY]=E[X]E[Y]でした\)。したがって、
\(E[e^{t(X+Y)}]=E[e^{tX}e^{tY}]=E[e^{tX}]E[e^{tY}]\)となります。

独立な確率変数\(X,Y\)が正規分布に従うとき、その和のモーメント母関数は
\[\begin{align}E[e^{t(X+Y)}&=E[e^{tX}]E[e^{tY}]\\&=e^{tµ_1+\frac{t^2\sigma_1^2}{2}}e^{tµ_2+\frac{t^2\sigma_2^2}{2}}\\&=e^{t(µ_1+µ_2)+\frac{t^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}{2} } \end{align}\]

これは確率変数Z\(\sim N(µ_1+µ_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)のモーメント母関数と一致します。よって正規分布の再生性が証明できました。

おわりに

今回は正規分布の重要な性質について紹介しました。

正規分布の再生性の証明にモーメント母関数がでてきたと思いますが、それの定理を使うことで簡単に証明できます。畳み込みで証明する方法もあるので、時間があったら記事を書こうと思います。

最後までご覧いただきありがとうございます。